GAR: Permukaan Garis

Mari belajar bersama

Pada postingan kali ini akan dibahas dua bagian dari bangun ruang dimensi tiga yang dibentuk oleh bangun datar berupa garis. Dengan mengkaji materi ini kita akan mengenal bahwa dari satu buah garis dapat dibentuk bangun ruang tiga dimensi. Berdasarkan sifat pembentukannya, bangun ruang yang terbentuk dari sebuah garis dpat dikelompokkan menjadi sebagai berikut.

A. Permukaan Garis

Permukaan garis (bahasa aslinya disebut sebagai "rulled surfacce") adalah bangun ruang berbentuk permukaan yang terbentuk dari suatu garis lurus yang digerakkan mengikuti suatu kurva tertentu. Permukaan garis ini dapat juga diartikan sebagai kumpulan berkas garis yang membentuk suatu daerah/area tertentu, dimana seluruh anggota berkas garis tersebut adalah hasil perpindahan dari garis lurus asalnya tersebut. Ada dua bentuk permukaan garis yang dipparkan sebagai berikut.

1. Permukaan Silinder

Permukaan silinder adalah bangun ruang yang dibentuk oleh garis lurus yang digerakkan sejajar dan memotong tegak lurus sebuah kurva tetap. Karena memotong/melalui sebuah kurva tetap maka bentuk silinder tersebut sesuai dengan bentuk kurvanya. Unsur yang terdapat dalam silinder utamanya adalah:

• garis yang digerakan (disebut "generator")
• kurva yang dilalui (disebut "direktrik")

Gambar berikut yang diambil dari buku Modern Calculus and Geometry Analytic karya Silverman. Gambar tersebut menunjukan contoh silinder dengan generatornya ruas garis PQ, serta melalui kurva lengkung C. Dari pengertian bisa kita lihat bahwa bentuk sillinder ini tergantuk bentuk kurva/direktriknya. Selebihnya  garis lurus yang membentuknya selalu tegak lurus dengan direktrik. 

Berdasarkan pengertian ini kita bisa membedakan antara definisi silinder dengan tabung jika ditinjau dari kurva/direktriknya. Pada tabung, direktriknya hanya berbentuk lingkaran, sedangkan silinder mengandung pengertian lebih luas karena bentuknya tergantuk bentuk direktrik yang dilaluinya. Sehingga kita juga kenal adanya bentuk bangun yang disebut sebagai silinder parabolik, silinder eliptik, silinder hiperbolik. Persamaan silinder tidak ada bentuk baku persamaannya. Hal ini sekali lagi dipengaruhi bentuk kurva direktrinya. Untuk menentukan persamaan silinder diperoleh dari langkah-langkah berikut.

1. Temukan pesamaan kurva direktrik dan koordinat titik pada generator
2. Ambil titik yang menjadi titik potong kurva dengan generator
3. Tentukan vektor arah silinder, yaitu vektor dari veptor dari titik potong kurva ke titik pada generator
4. Substitusikan vektor arah dan titik yang diketahui ke persamaan umum silinder $\frac{x-x_{0}}{A}=\frac{y-y_{0}}{B}=\frac{z-z_{0}}{C}=k$
5. Eliminasi variabel k sehingga diperoleh persamaan silinder

Contoh:

Tentukan persamaan silinder jika diketahui direktrik $x^2+4y^2=36, y=z$ dan vektor arah (1,2,1).

Jawab:

Dari persoalan telah diketahui persamaan direktrik dan vektor arahnya, sehingga langkah 1-3 sudah dilalui.  Selanjutnya substitusi ke persamaan umum silinder:

$$\frac{x-x_{0}}{1}=\frac{y-y_{0}}{2}=\frac{z-z_{0}}{1}=k$$

Diperoleh

$x_{0}=x-k$

$y_{0}=y-2k$

$z_{0}=z-k$

Sebelumnya diketahui bahwa titik $(x_{0},y_{0},z_{0})$ melalui direktrik, sehingga memenuhi persamaan

$$x_{0}^2+4y_{0}^2=36, y_{0}=z_{0}$$

Kemudian dengan mensubstitusi nilai $(x_{0},y_{0},z_{0})$ diperoleh

$$(x-k)^2+4(y-2k)^2=36,y-2k=z-k$$

Selanjutnya dengan mengeliminasi variabel k (lebih tepatnya dengan eliminasi) diperoleh persamaan silinder:

$$(x-y+z)^2+4(2z-y)^2=36$$

 2. Persamaan Kerucut

Kerucut adalah bangun ruang yang dibentuk oleh garis lurus yang bergerak di sepanjang kurva dan melalui suatu titik tertentu. Sama seperti sebelumnya kurva yang dilaluinya disebut sebagai direktrik. Adapun titik tertentu ini adalah titik puncak kerucut, atau disebut sebagai verteks. 

Berdasarkan gambar oleh Silverman ini dapat kita ketahui bahwa direktrik kerucut terebut adalah C. Adapun titik puncaknya adalah titik (0,0,0), serta rus garis QO adalah generator dari kerucut tersebut. Adapun cara menentukan persamaan permukaan kerucut tersebut sebagai berikut:

1. Tentukan koordinat verteks dan persamaan direktriknya
2. Tentukan suatu titik lain (x,y,z) pada generator  dan $(x_{0},y_{0},z_{0})$ pada kurva yang terletak segaris 
3. Substitusi ke persamaan umum kerucut $\frac{x_{0}-a}{x-a}=\frac{y_{0}-b}{y-b}=\frac{z_{0}-c}{z-c}=k$
4. Eliminasi nilai k untuk memperoleh persaman kerucut yang diminta.

Contoh:

Tentukan persamaan kerucut dari bangun berikut dengan direktrik $x^2+y^2=2z, z=4$ dan koordinat verteks (1,2,6).

Jawab:

Dari nilai verteks diperoleh

$$\frac{x_{0}-a}{x-a}=\frac{y_{0}-b}{y-b}=\frac{z_{0}-c}{z-c}=k$$

$$\frac{x_{0}-1}{x-1}=\frac{y_{0}-2}{y-2}=\frac{z_{0}-6}{z-6}=k$$

Sehingga diperoleh nilai titik pada kurva

$x_{0}=k(x-1)+1$

$y_{0}=k(y-2)+2$

$x_{0}=k(z-6)+6$

Karena titik tersebut melalui kurva maka memenuhi persamaan

$$x_{0}^2+y_{0}^2=2z_{0}, z_{0}=4$$

Dengan substitusi nilai titik tersebut diperoleh

$$(k(x-1)+1)^2+(k(y-2)+2)^2=2(k(z-6)+6), k(z-6)+6=4$$

Selanjutnya dengan mengeliminasi variabel k (seperti sebeelumnya) diperoleh persamaan kerucut:

$$(x-1)^2+(y-2)^2-(x-1)(z-6)-2(y-2)(z-6)=\frac{3}{4}(z-6)^2$$

Demikian kajian kita terkait permukaan yang dibentuk oleh garis lurus yang digerakkan. Materi offline terkait ini dapat diakses disini.

Adapun pembahasan selanjutnya  yang masih berkaitan dengan ini adalah permukaan putar (surface of revolution). Silakan juga kalian kaji lebih lanjut untuk meningkatkan pemahaman.

Salah satu dosen saya duluProf Yus dari Malang pernah mengatakan bahwa kunci sukses belajar bagi mahasiswa matematika adalah dengan mempelajari lebih dulu materi yang kan datang, mencoba memahami, dan mencatat hal yang tidak dimengerti.

terimakasih sudah belajar bersama

Persamaan Permukaan Bola

Kalau kita mengkaji bangun dimensi tiga maka tidak terlepas dari bangun yang disebut sebagai bola. Bangun ini adalah salah satu bentuk geometri yang paling unik. Dari segi bentuk ini adalah bangun lengkung yang paling sempurna. Karena secara geometris bola dapat diperoleh secara dari sebuah titik yang ditarik sama panjang ke segala arah. Begitu juga jika dipandang dari segi analitik. Bangun geometri permukaan bola memiliki serangkaian sifat dan aturan unik lainnya. Inilah yang akan kita bahas dalam kajian geometri analitik ruang kali ini.

Persamaan Bola di Titik Pusat $(0,0,0)$

Permukaan bola dapat diartikan juga sebagai tempat kedudukan titik-titik yang memiliki jarak yang sama dengan suatu titik tertentu. Untuk menentukan persamaan bola yang titik pusatnya pada titik awal sistem koordinat dapat ditentukan dengan langkah-langkah berikut. 

• Ambil sebarang bola dengan titik pusat $O(0,0,0)$ dan dengan jari-jari r;
•  Ambil kembali sebarang titik pada permukaan bola misalkan $P(x,y,z)$. Maka diperoleh $\vec{OP}=[x-0,y-0,z-0]=[x,y,z]$;
• Berdasarkan definisi bola diperoleh $\vec{OP}=r$ sehingga;

$$\vec{OP}=r$$

$$|\vec{OP}=|r|$$

$$\sqrt{(x)^2+(y)^2+(z)^2}=|r|$$

$$x^2+y^2+z^2=r^2$$

• Karena $P(x,y,z)$ adalah sebarang titik pada bola maka persamaan $x^2+y^2+z^2=r^2$ merupakan persamaan yang berlaku umum untuk bola. Jadi persamaan permukaan bola dengan pusat $(0,0,0)$ dan jari-jari r adalah. 

$$x^2+y^2+z^2=r^2$$

Persamaan Bola dengan Pusat $(a,b,c)$

Untuk menentukan persamaan permukaan bola yang berpusat di $A(a,b,c)$ dapat diperoleh melalui langkah-langkah berikut:

• Ambil sebuah bola dengan titik pusat di $A(a,b,c)$ dan jari-jari r pada ruang oktan I.
• Ambil kembali sebarang titik pada permukaan bola misalkan $P(x,y,z)$. Maka diperoleh $\vec{AP}=[x-a,y-b,z-c]$
•  Berdasarkan definisi bola diperoleh $\vec{AP}=r$ sehingga $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$
• Karena $P(x,y,z)$ adalah sebarang titik pada bola maka persamaan di atas juga berlaku umum untuk bola. Jadi persamaan permukaan bola dengan pusat $A(a,b,c)$ dan jari-jari r adalah:

$$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$$

Persamaan Umum Bola

Jika persamaan bola $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$ kita jabarkan, maka akan diperoleh bentuk persamaan umum bola sebagai berikut:

$$x^2+y^12+z^2-2ax-2by-2cz+a^2+b^2+c^2-r^2=0$$

Kemudian dengan membuat permisalan $-2a=A$, $-2b=B$ dan $-2c=C$ diperoleh persamaan umum bola sebagai berikut

$$x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0$$ 

 

Nah jadi itulah tiga bentuk persaman bola pada dimensi tiga. Semuanya menggunakan ditempatkan pada koordinat bantu yaitu sistem koordinat kartesius. Pembahasan ini sudah dijelaskan sebelumnya. Adapun untuk lebih mempelajari lebih lanjut tentang bangun bola dimensi tiga silakan dipelajari lebih lanjut materinya disini. 

Terimakasih sudah berkunjung dan belajar bersama. Untuk belajar lebih lanjut silakan tuliskan komentar dan pertanyaan untuk kita diskusikan.

Semoga bermanfaat 

Garis Lurus di Ruang Dimensi Tiga

Bagaimana jika garis lurus yang merupkan bangun dimensi satu diletakkan pada ruang dimensi tiga? Tentunya secara analitikterdapat perbedaan dalam hal persamaan an aturan-aturan yang terkait. Untuk itu disini kita akan mempelajari tentang persamaan garis lurus , jarak titik ke garis, dan jarak garis ke garis pada dimensi tiga.

Persamaan Garis Lurus

Persamaan garis lurus pada ruang dimensi tiga akan tertentu jika diketahui dua buah titik pada garis lurus tersebut. Misalkan diketahui dua buah titik $P(x_{1}, y_{1}, z_{1})$  dan $Q(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ terletak pada garis lurus g. Sehingga diperoleh bahwa $\vec{OP}=[x_{1}, y_{1}, z_{1}]$ dan $\vec{OQ}=[x_{2}, y_{2}, z_{2}]$ serta $\vec{PQ}=[x_{2}-x_{1}, y_{2}-y_{1}, z_{2}-z_{1}]$. Jika diambil sebarang titik  $X(x, y, z)$ maka akan berlaku $\vec{PX}=\lambda \vec{PQ}$ dengan $(-\infty<\lambda<\infty)$.  Sehingga dengan penjumlahan vektor diperoleh vektor $\vec{OX}=\vec{OP}+\vec{OX}$. Perhatikan gambar berikut.

Persamaan di atas dapat dituliskan menjadi:

$[x,y,z]=[x_{1}, y_{1}, z_{1}]+\lambda [x_{2}-x_{1}, y_{2}-y_{1}, z_{2}-z_{1}]$

Inilah yang disebut sebagai persamaan vektoris garis lurus pada ruang dimensi tiga yang melalui dua buah titik. Vektor $\vec{PQ}$ atau vektor lain yang terletak pada garis g adalah vektor arah dari garis lurus tersebut.

Jika suatu garis lurus melalui titik $P(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ dan diketahui vektor arahnya  $\vec{a}=[x_{a}, y_{a}, z_{a}]$ maka persamaan vektoris tersebut dapat ditulis menjadi:

Dari persamaan tersebut dapat ditulis secara terpisah menjadi:

$x=x_{1}+\lambda x_{a}$

$y=y_{1}+\lambda y_{a}$

$z=z_{1}+\lambda z_{a}$

Inilah yang menjadi Persamaan Parameter garis lurus pada ruang dimensi tiga. Pada persamaan ini memuat adanya parameter garis lurus berupa $\lambda$ yang bernilai $(-\infty<\lambda<\infty)$.

Selanjutnya jika kita operasikan ketiga persamaan parameter tersebut, hingga diperoleh nilai $\lambda$. Maka hasil tersebut akan menjadi Persamaan Simetris garis lurus pada dimensi ruang. Materi terkait yang dapat digunakan untuk pembelajaran lebih lanjut terkait garis lurus pada dimensi tiga dapat diakses disini.

Adapun untuk memahami materi lewat penjelasan bisa disimak pada video berikut:

Sekian dan terima kasih

Semangat untuk memberi manfaat

Bidang Datar dalam Dimensi Tiga

Bidang datar sebenarnya adalah bangun dimensi dua. Namun bagaimana jika bidang ini diletakan pada dimensi ruang? Maka akan memunculkan beberapa persamaan dan aturan geometri terkait bangun datar. Inilah yang akan kita pelajari bersama kali ini. 

Suatu bidang datar dapat ditentukan jika minimal diketahui tiga buah titik pda bidang tersebut yang tidak segaris. Misalkan tiga titik tersebut yaitu $P(x_{1}, y_{1}, z_{1})$, $Q(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ dan $R(x_{3}, y_{3}, z_{3})$. Sehingga diperoleh $\vec{PQ}=[x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1}]$ dan $\vec{PR}=[x_{3}-x_{1},y_{3}-y_{1},z_{3}-z_{1}]$. Perhatikan gambar  berikut.

Sehingga untuk titik $X(x,y,z)$ pada bidang tersebut berlaku vektor $\vec{PX}=\lambda \vec{PQ}+\mu \vec{PR}$ untuk $(-\infty<\lambda<\infty,-\infty<\mu<\infty)$

Diketahui pula bahwa vektor posisi $\vec{OX}=\vec{OP}+\vec{PX}$. Sementara di lain pihak diketahui bahwa $\vec{OP}=[x_{1}, y_{1}, z_{1}]$. Sehingga diperoleh persamaan yang disebut Persamaan vektoris bidang datar sebagai berikut:

$$[x,y,z]=[x_{1}, y_{1}, z_{1}]+\lambda [x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1}]+\mu [x_{3}-x_{1},y_{3}-y_{1},z_{3}-z_{1}]$$

Selanjutnya persamaan vektoris yang melalui titik $P(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ dapat dirubah jika kita memisalkan vektor arahnya $\vec{a}=[x_{a}, y_{a}, z_{a}]$ dan $\vec{b}=[x_{b}, y_{b}, z_{b}]$. Maka persamaan bidangnya menjadi $[x,y,z]=[x_{1}, y_{1}, z_{1}]+\lambda [x_{a}, y_{a}, z_{a}]+\mu [x_{b}, y_{b}, z_{b}]$. Dari persamaan tersebut dapat ditulis secara terpisah menjadi:

$x=x_{1}+\lambda x_{a}+\mu x_{b}$

$y=y_{1}+\lambda y_{a}+\mu y_{b}$

$z=z_{1}+\lambda z_{a}+\mu z_{b}$

Persamaan ini disebut sebagai persamaan parameter bidang datar.

Persamaan bidang yang ketiga adalah persamaan linier. Jika kita mengoperasikan dua buah persamaan parameter, kemudian mengeliminasi pada masing-masing persamaan, nilai $\lambda$ dan $\mu$. Maka diperoleh nilai $\lambda=\frac{y_{b}(x-x_{1})-x_{b}(y-y_{1})}{x_{a}y_{b}-y_{a}x_{b}}$ dan $\mu=\frac{x_{a}(y-y_{1})-x_{a}(x-x_{1})}{x_{a}y_{b}-y_{a}x_{b}}$ dengan $x_{a}y_{b}-y_{a}x_{b}\ne 0$.

Kemudian dengan dengan mensubstitusikan nilai $\lambda$ dan $\mu$ ke persamaan parameter yang tersisa diperoleh:

$z=z_{1}+\lambda z_{a}+\mu z_{b}$

$=z_{1}+\left(\frac{y_{b}(x-x_{1})-x_{b}(y-y_{1})}{x_{a}y_{b}-y_{a}x_{b}}\right) z_{a}+\left(\frac{x_{a}(y-y_{1})-x_{a}(x-x_{1})}{x_{a}y_{b}-y_{a}x_{b}}\right) z_{b}$

$z_{a}+\left(\frac{x_{a}(y-y_{1})-x_{a}(x-x_{1})}{x_{a}y_{b}-y_{a}x_{b}}\right) z_{b}$

Selanjutnya dengan membuat permisalan:

$z_{b}y_{a}-z_{a}y_{b}=A$

$z_{a}x_{b}-z_{b}x_{a}=B$

$x_{a}y_{b}-y_{a}x_{b}=C$

Diperoleh persamaan liniernya adalah:

$$A(x-x_{1})+B(y-y_{1})+C(z-z_{1})  =0$$

Pada persamaan ini, nilai A, B dan C adalah vektor normal bidang datar. Vektor ini didapat dari cross product  terhadap kedua vektor arah bidang $\vec{a}=[x_{a}, y_{a}, z_{a}]$ dan $\vec{b}=[x_{b}, y_{b}, z_{b}]$.

Sudut Antara Dua Bidang Datar

Sudut antara dua bidang datar adalah sudut yang terbentuk di antara vektor-vektor normalnya. Misalkan diketahui vektor-vektor normal $\vec{n_{1}}=[A_{1},B_{1},C_{1}]$  dan $\vec{n_{2}}=[A_{2},B_{2},C_{2}]$, maka untuk meghitung sudut yang terbentuk dapat menggunakan aturan cosinus yang terdapat dalam perkalian titik (dot product) yaitu:

$\vec{n_{1}}.\vec{n_{2}}=|\vec{n_{1}}||\vec{n_{2}}|cos \theta$

$\theta=\frac{\vec{n_{1}}.\vec{n_{2}}}{|\vec{n_{1}}||\vec{n_{2}}|}$

Sekian pembahasan dan belajar kita kali ini. Sumber belajar ini serta bahan untuk belajar lebih lanjut dapat dicek disini. Hal-hal yang tidak dipahami serta diskusi lebih lanjut silakan tambahkan di kolom komentar.

Mari kita sama-sama belajar dalam kebaikan dan saling mengembangkan ilmu pengetahuan. Karena ilmu adalah adalah salah satu hal yang tidak akan habis jika dibagi.

Kritik dan ssaran akan sangat membantu pengembangan blog ini, Jdi sangatdiharapkan kritik dan saran pembaca baik melalui kolom komentar atau melalui email. 

terimakasih   

 

Koordinat Kartesius Dimensi Tiga

Apa itu sistem koordinat kartesius dimensi tiga? sebagaimana yang kita ketahui juga sistem koordinat kartesius sering juga digunakan dalam dimensi dua berupa dua garis lurus yang saling berpotongan tegak lurus. Sistem ini menjadi dasar penempatan berbagai bangun dimensi dua.  Hal ini juga berlaku pada dimensi tiga dimana sistem koordinat ini merupakan salah satu "kanvas" untuk menempatkan berbagai bangun dimensi tiga. Penjelasan lebih lanjut ada dalam paparan berikut.

Sistem koordinat kartesius tiga dimensi pada prinsipnya sama dengan sistem koordinat dua dimensi, namun dengan penambahan satu sumbu (sumbu z) yang satu sama lain saling tegak lurus. Sehingga dalam penggunaannya melibatkan tiga variabel. Pada koordinat kartesius secara umum disepakati bahwa sumbu y adalah sumbu horizontal (datar), sumbu z adalah sumbu vertikal, dan sumbu x adalah yang tegak lurus de ngan kedua sumbu lainnya. perhatikan ilustrasi berikut.

Pada koordinat kartesius kita kenal sumbu yang bernilai positif dan negatif. Pada  sumbu x, arah yang menuju kita adalah nilai positif dan arah lawannya bernilai negatif. Pada sumbu y, nilai ke kanan titik pusat bernilai positif sedangkan ke kiri bernilai negatif. Adapun sumbu z bernilai positif ke arah atas, dan negatif di bawah titik pusat.

Selain itu dari ketiga sumbu tersebut membentuk tiga bidang koordinat, yaitu bidang yz, xz, dan xy. Bidang tersebut berfungsi seperti dinding yang membatasi ruang pada koordinat dimensi tiga. Hasilnya terbentuk delapan ruang yang disebut oktan.  

Kedudukan Titik

Kedudukan titik pada koordinat kartesius tiga dimensi menunjukan letak titik tersebut terhadap sumbu x, y, dan z. Kedudukan titik dilambangkan dengan tiga pasangan terurut yang terdiri dari absis, ordinat dan aplikat. Jika diketahui suatu titik pada sistem koordinat  P(a,b,c) maka a adalah absis yang menyatakan jarak antara titik tersebut dengan bidang yz, b adalah ordinat yang menyatakan jarak antara titik dengan bidang xz, dan dan c adalah aplikat yang menyatakan jarak antara titik tersebut dengan bidang xy. Letak titik tersebut sesuai dengan oktan yang berkesuaian dengan nilai-nilai positif dan negatif dari absis, ordinat dan aplikat. Contohnya pada titik (3,2,4) sebagai berikut:

Cara lain untuk menempatkan titik pada koordinat kartesius adalah dengan membuat tiga buah garis bantu yang menyatakan panjang absis, ordinat dan aplikat secara berurutan. Contohnya sebagai berikut:

Jarak Dua Titik

Untuk memahami konsep jarak antara dua titik pada ruang dimensi tiga perhatikan gambar berikut.

Pada gambar tersebut untuk memperoleh jarak dari $T_{1}$ ke $T_{2}$ terlebih dulu kita buat alat bantu berupa bidang yang memuat titik $A(x_{2}, y_{2}, z_{1})$ dan $B(x_{2}, y_{1}, z_{1})$. Sehingga diperoleh:

$|AB|=|y_{2}-y_{1}|$

$|BT_{1}|=|x_{2}-x_{1}|$

$|AT_{2}|=|z_{2}-z_{1}|$

Dari gambar juga diketahui bahwa $\triangle ABT_{1}$ siku-siku di B, sehingga dengan Teorema Pythagoras diperoleh:

$|AT_{1}|^{2}=|BT_{1}|^{2}+|AB|^{2}$

        $=|x_{2}-x_{1}|^{2}+|y_{2}-y_{1}|^{2}$

Di lain pihak diketahui  $\triangle T_{1}AT_{2}$ siku-siku di A, maka

$|T_{1}T_{2}|^{2}=|AT_{1}|^{2}+|AT_{2}|^{2}=|x_{2}-x_{1}|^{2}+|y_{2}-y_{1}|^{2}+|z_{2}-z_{1}|^{2}$

$|T_{1}T_{2}|=\sqrt{|x_{2}-x_{1}|^{2}+|y_{2}-y_{1}|^{2}+|z_{2}-z_{1}|^{2}}$

Sekian dan terimakasih telah belajar bersama. Semoga dapat dipahami dan menggunakan ilmu kita sebaik-baiknya baik untuk kita serta terlebih lagi untuk orang lain.

Mari kita sama-sama berbagi kebaikan dan bersama-sama mengembangkan ilmu pengetahuan.

Materi belajar lebih lanjut beserta contoh dapat dipelajari disini.

Sangat ditunggu komentar dan masukan dari pembaca untuk perbaikan dan bahan diskusi lebih lanjut.

Vektor: Hasil kali titik dan silang

Saat membahas operasional yang dilkukan pada vektor, ada operasi yang dilakukan secara tidak lazim yaitu operasi perkalian. Jika operasi lain dilakukan hampir sama dengan operasional aljabar, maka pada perkalian berlaku aturan yang disebut hasil kali titik dan hasil kali silang (dot product dan cross product) .  Karena ini adalah bahan untuk belajar geometri analitik ruang, maka vektor yang dimaksud disini dalah vektor pda dimensi tiga. Jadi ayo belajar bersama.

Hasil kali titik (atau disebut juga dot product) adalah suatu bentuk perkalian vektor yang memenuhi aturan tertentu. Aturan ini diformulaikan secara analitik sebgai berikut:

Jika $\vec{a} = [a_{1},a_{2},a_{3}]$  dan $\vec{b} = [b_{1},b_{2},b_{3}]$, selanjutnya hasil kali titik dari vektor $ \vec{a}$ dan $ \vec{b}$ adalah sebuah skalar yang dinyatakan oleh:

$$\vec{a}. \vec{b}=a_{1}b_{1} +a_{2}b_{2} +a_{3}b_{3}$$

Perhatikan bahwa disini kedua varibel vektor dikalikan bersama dan dijumlahkan. Sehingga hasilnya bukan berupa vektor tetapi bilangan skalar. Adapun dalam interpretasi geometri, hasil kali titik  ini dapat diterapkan untuk menghitung nilai sudut antara dua buah vektor.

Jika dua buah vektor yang dinotasikan sebagai $ \vec{a}$ dan $ \vec{b}$ serta $ \theta$ adalah sudut diantara keduanya dengan $0 \le \theta \le \pi$. Maka:

$$\vec{a}. \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| cos \theta$$

Contoh
1. Tentukan hasil kali titik dari $\vec{m}=[1,1,-1]$ dan $\vec{n}=[-4,3,6]$.
2. Tentukan sudut yang terbentuk dari vektor-vektor $\vec{a}=[2,2,-1]$ dan $\vec{b}=[5,-3,2]$.

Penyelesaian:
1. $\vec{m}.\vec{n}=m_{1}n_{1} +m_{2}n_{2} +m_{3}n_{3}=1(-4) +1(3) +(-1)(6)=-4+3-6=-7$
2. Penyelesaian soal ini menggunakan aturan interpretasi geometri, sehingga lebih dulu dicari:
$\vec{a}. \vec{b}=2(5)+2(-3)+(-1)2=2$
$|\vec{a}|=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}=\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{9}=3$
$|\vec{b}|=\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2+{b_3}^2}=\sqrt{5^2+{-3}^2+2^2}=\sqrt{38}$
sehingga diperoleh:
$\vec{a}. \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| cos \theta$
$cos \theta =\frac{\vec{a}. \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{2}{3\sqrt{38}} $
$\theta =cos^{-1}\left(\frac{2}{3\sqrt{38}}\right)=84^{\circ} $

Hasil Kali Silang (disebut cross product) adalah suatu bentuk perkalian vektor yang menghsilkan vektor kembali dengan mengikuti aturan tertentu. Hasil akhir inilh yang membedakan dengan perkalian titik. ika $\vec{a}=[a_{1},a_{2},a_{3}]$ dan $\vec{b}=[b_{1},b_{2},b_{3}]$ adalah vektor, maka perkalian $\vec{a} \times \vec{b}$ didefinisikan sebagai:
 $$\vec{a} \times \vec{b}=[a_{2}b_{3} -a_{3}b_{2}, a_{3}b_{1} -a_{1}b_{3}, a_{1}b_{2} -a_{2}b_{1}]$$
Contoh:
Tentukan vektor yang terbentuk dari $\vec{a}=[2,3,4]$ dan$\vec{b}=[2,7,-5]$
Penyelesaian:

Karena yang ditanyakan vektor yang terbentuk dari dua buah vektor yang ada maka kita menggunakan hasil kali titik.

$\vec{a} \times \vec{b}=[a_{2}b_{3} -a_{3}b_{2}, a_{3}b_{1} -a_{1}b_{3}, a_{1}b_{2} -a_{2}b_{1}]$

$$=[3(-5)-4(7), 4(2)-2(-5), 2(7)-3(2)]=[-43, 18, 8]$$

Pembahasan selengkapnya dapat dikaji disini.  

Persamaan Garis Lurus dengan perpotongan di sumbu koordinat

Submateri: Geometri Analitik

Misalkan diketehui suatu garis lurus seperti gambar berikut:

Maka kita dapat memperoleh persamaannya dengan langkah-langkah menggunakan persamaan lain yaitu persamaan garis yang melalui dua titik. Dengan memisalkan dua titik yang diketahui itu adalah A(a,0) dan B(0,b) maka kita akan menemukan persamaannya sebagai berikut:

Bentuk terakhir itulah menjadi persamaan garis lurus yang melalui perpotongan kedua sumbu koordinat di titik A(a,0) dan B(0,b).