GAR: Permukaan Garis

Mari belajar bersama

Pada postingan kali ini akan dibahas dua bagian dari bangun ruang dimensi tiga yang dibentuk oleh bangun datar berupa garis. Dengan mengkaji materi ini kita akan mengenal bahwa dari satu buah garis dapat dibentuk bangun ruang tiga dimensi. Berdasarkan sifat pembentukannya, bangun ruang yang terbentuk dari sebuah garis dpat dikelompokkan menjadi sebagai berikut.

A. Permukaan Garis

Permukaan garis (bahasa aslinya disebut sebagai "rulled surfacce") adalah bangun ruang berbentuk permukaan yang terbentuk dari suatu garis lurus yang digerakkan mengikuti suatu kurva tertentu. Permukaan garis ini dapat juga diartikan sebagai kumpulan berkas garis yang membentuk suatu daerah/area tertentu, dimana seluruh anggota berkas garis tersebut adalah hasil perpindahan dari garis lurus asalnya tersebut. Ada dua bentuk permukaan garis yang dipparkan sebagai berikut.

1. Permukaan Silinder

Permukaan silinder adalah bangun ruang yang dibentuk oleh garis lurus yang digerakkan sejajar dan memotong tegak lurus sebuah kurva tetap. Karena memotong/melalui sebuah kurva tetap maka bentuk silinder tersebut sesuai dengan bentuk kurvanya. Unsur yang terdapat dalam silinder utamanya adalah:

• garis yang digerakan (disebut "generator")
• kurva yang dilalui (disebut "direktrik")

Gambar berikut yang diambil dari buku Modern Calculus and Geometry Analytic karya Silverman. Gambar tersebut menunjukan contoh silinder dengan generatornya ruas garis PQ, serta melalui kurva lengkung C. Dari pengertian bisa kita lihat bahwa bentuk sillinder ini tergantuk bentuk kurva/direktriknya. Selebihnya  garis lurus yang membentuknya selalu tegak lurus dengan direktrik. 

Berdasarkan pengertian ini kita bisa membedakan antara definisi silinder dengan tabung jika ditinjau dari kurva/direktriknya. Pada tabung, direktriknya hanya berbentuk lingkaran, sedangkan silinder mengandung pengertian lebih luas karena bentuknya tergantuk bentuk direktrik yang dilaluinya. Sehingga kita juga kenal adanya bentuk bangun yang disebut sebagai silinder parabolik, silinder eliptik, silinder hiperbolik. Persamaan silinder tidak ada bentuk baku persamaannya. Hal ini sekali lagi dipengaruhi bentuk kurva direktrinya. Untuk menentukan persamaan silinder diperoleh dari langkah-langkah berikut.

1. Temukan pesamaan kurva direktrik dan koordinat titik pada generator
2. Ambil titik yang menjadi titik potong kurva dengan generator
3. Tentukan vektor arah silinder, yaitu vektor dari veptor dari titik potong kurva ke titik pada generator
4. Substitusikan vektor arah dan titik yang diketahui ke persamaan umum silinder $\frac{x-x_{0}}{A}=\frac{y-y_{0}}{B}=\frac{z-z_{0}}{C}=k$
5. Eliminasi variabel k sehingga diperoleh persamaan silinder

Contoh:

Tentukan persamaan silinder jika diketahui direktrik $x^2+4y^2=36, y=z$ dan vektor arah (1,2,1).

Jawab:

Dari persoalan telah diketahui persamaan direktrik dan vektor arahnya, sehingga langkah 1-3 sudah dilalui.  Selanjutnya substitusi ke persamaan umum silinder:

$$\frac{x-x_{0}}{1}=\frac{y-y_{0}}{2}=\frac{z-z_{0}}{1}=k$$

Diperoleh

$x_{0}=x-k$

$y_{0}=y-2k$

$z_{0}=z-k$

Sebelumnya diketahui bahwa titik $(x_{0},y_{0},z_{0})$ melalui direktrik, sehingga memenuhi persamaan

$$x_{0}^2+4y_{0}^2=36, y_{0}=z_{0}$$

Kemudian dengan mensubstitusi nilai $(x_{0},y_{0},z_{0})$ diperoleh

$$(x-k)^2+4(y-2k)^2=36,y-2k=z-k$$

Selanjutnya dengan mengeliminasi variabel k (lebih tepatnya dengan eliminasi) diperoleh persamaan silinder:

$$(x-y+z)^2+4(2z-y)^2=36$$

 2. Persamaan Kerucut

Kerucut adalah bangun ruang yang dibentuk oleh garis lurus yang bergerak di sepanjang kurva dan melalui suatu titik tertentu. Sama seperti sebelumnya kurva yang dilaluinya disebut sebagai direktrik. Adapun titik tertentu ini adalah titik puncak kerucut, atau disebut sebagai verteks. 

Berdasarkan gambar oleh Silverman ini dapat kita ketahui bahwa direktrik kerucut terebut adalah C. Adapun titik puncaknya adalah titik (0,0,0), serta rus garis QO adalah generator dari kerucut tersebut. Adapun cara menentukan persamaan permukaan kerucut tersebut sebagai berikut:

1. Tentukan koordinat verteks dan persamaan direktriknya
2. Tentukan suatu titik lain (x,y,z) pada generator  dan $(x_{0},y_{0},z_{0})$ pada kurva yang terletak segaris 
3. Substitusi ke persamaan umum kerucut $\frac{x_{0}-a}{x-a}=\frac{y_{0}-b}{y-b}=\frac{z_{0}-c}{z-c}=k$
4. Eliminasi nilai k untuk memperoleh persaman kerucut yang diminta.

Contoh:

Tentukan persamaan kerucut dari bangun berikut dengan direktrik $x^2+y^2=2z, z=4$ dan koordinat verteks (1,2,6).

Jawab:

Dari nilai verteks diperoleh

$$\frac{x_{0}-a}{x-a}=\frac{y_{0}-b}{y-b}=\frac{z_{0}-c}{z-c}=k$$

$$\frac{x_{0}-1}{x-1}=\frac{y_{0}-2}{y-2}=\frac{z_{0}-6}{z-6}=k$$

Sehingga diperoleh nilai titik pada kurva

$x_{0}=k(x-1)+1$

$y_{0}=k(y-2)+2$

$x_{0}=k(z-6)+6$

Karena titik tersebut melalui kurva maka memenuhi persamaan

$$x_{0}^2+y_{0}^2=2z_{0}, z_{0}=4$$

Dengan substitusi nilai titik tersebut diperoleh

$$(k(x-1)+1)^2+(k(y-2)+2)^2=2(k(z-6)+6), k(z-6)+6=4$$

Selanjutnya dengan mengeliminasi variabel k (seperti sebeelumnya) diperoleh persamaan kerucut:

$$(x-1)^2+(y-2)^2-(x-1)(z-6)-2(y-2)(z-6)=\frac{3}{4}(z-6)^2$$

Demikian kajian kita terkait permukaan yang dibentuk oleh garis lurus yang digerakkan. Materi offline terkait ini dapat diakses disini.

Adapun pembahasan selanjutnya  yang masih berkaitan dengan ini adalah permukaan putar (surface of revolution). Silakan juga kalian kaji lebih lanjut untuk meningkatkan pemahaman.

Salah satu dosen saya duluProf Yus dari Malang pernah mengatakan bahwa kunci sukses belajar bagi mahasiswa matematika adalah dengan mempelajari lebih dulu materi yang kan datang, mencoba memahami, dan mencatat hal yang tidak dimengerti.

terimakasih sudah belajar bersama