Bidang datar sebenarnya adalah bangun dimensi dua. Namun bagaimana jika bidang ini diletakan pada dimensi ruang? Maka akan memunculkan beberapa persamaan dan aturan geometri terkait bangun datar. Inilah yang akan kita pelajari bersama kali ini.
Suatu bidang datar dapat ditentukan jika minimal diketahui tiga buah titik pda bidang tersebut yang tidak segaris. Misalkan tiga titik tersebut yaitu $P(x_{1}, y_{1}, z_{1})$, $Q(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ dan $R(x_{3}, y_{3}, z_{3})$. Sehingga diperoleh $\vec{PQ}=[x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1}]$ dan $\vec{PR}=[x_{3}-x_{1},y_{3}-y_{1},z_{3}-z_{1}]$. Perhatikan gambar berikut.
Sehingga untuk titik $X(x,y,z)$ pada bidang tersebut berlaku vektor $\vec{PX}=\lambda \vec{PQ}+\mu \vec{PR}$ untuk $(-\infty<\lambda<\infty,-\infty<\mu<\infty)$
Diketahui pula bahwa vektor posisi $\vec{OX}=\vec{OP}+\vec{PX}$. Sementara di lain pihak diketahui bahwa $\vec{OP}=[x_{1}, y_{1}, z_{1}]$. Sehingga diperoleh persamaan yang disebut Persamaan vektoris bidang datar sebagai berikut:
$$[x,y,z]=[x_{1}, y_{1}, z_{1}]+\lambda [x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1}]+\mu [x_{3}-x_{1},y_{3}-y_{1},z_{3}-z_{1}]$$
Selanjutnya persamaan vektoris yang melalui titik $P(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ dapat dirubah jika kita memisalkan vektor arahnya $\vec{a}=[x_{a}, y_{a}, z_{a}]$ dan $\vec{b}=[x_{b}, y_{b}, z_{b}]$. Maka persamaan bidangnya menjadi $[x,y,z]=[x_{1}, y_{1}, z_{1}]+\lambda [x_{a}, y_{a}, z_{a}]+\mu [x_{b}, y_{b}, z_{b}]$. Dari persamaan tersebut dapat ditulis secara terpisah menjadi:
$x=x_{1}+\lambda x_{a}+\mu x_{b}$
$y=y_{1}+\lambda y_{a}+\mu y_{b}$
$z=z_{1}+\lambda z_{a}+\mu z_{b}$
Persamaan ini disebut sebagai persamaan parameter bidang datar.
Persamaan bidang yang ketiga adalah persamaan linier. Jika kita mengoperasikan dua buah persamaan parameter, kemudian mengeliminasi pada masing-masing persamaan, nilai $\lambda$ dan $\mu$. Maka diperoleh nilai $\lambda=\frac{y_{b}(x-x_{1})-x_{b}(y-y_{1})}{x_{a}y_{b}-y_{a}x_{b}}$ dan $\mu=\frac{x_{a}(y-y_{1})-x_{a}(x-x_{1})}{x_{a}y_{b}-y_{a}x_{b}}$ dengan $x_{a}y_{b}-y_{a}x_{b}\ne 0$.
Kemudian dengan dengan mensubstitusikan nilai $\lambda$ dan $\mu$ ke persamaan parameter yang tersisa diperoleh:
$z=z_{1}+\lambda z_{a}+\mu z_{b}$
$=z_{1}+\left(\frac{y_{b}(x-x_{1})-x_{b}(y-y_{1})}{x_{a}y_{b}-y_{a}x_{b}}\right) z_{a}+\left(\frac{x_{a}(y-y_{1})-x_{a}(x-x_{1})}{x_{a}y_{b}-y_{a}x_{b}}\right) z_{b}$
$z_{a}+\left(\frac{x_{a}(y-y_{1})-x_{a}(x-x_{1})}{x_{a}y_{b}-y_{a}x_{b}}\right) z_{b}$
Selanjutnya dengan membuat permisalan:
$z_{b}y_{a}-z_{a}y_{b}=A$
$z_{a}x_{b}-z_{b}x_{a}=B$
$x_{a}y_{b}-y_{a}x_{b}=C$
Diperoleh persamaan liniernya adalah:
$$A(x-x_{1})+B(y-y_{1})+C(z-z_{1}) =0$$
Pada persamaan ini, nilai A, B dan C adalah vektor normal bidang datar. Vektor ini didapat dari cross product terhadap kedua vektor arah bidang $\vec{a}=[x_{a}, y_{a}, z_{a}]$ dan $\vec{b}=[x_{b}, y_{b}, z_{b}]$.
Sudut Antara Dua Bidang Datar
Sudut antara dua bidang datar adalah sudut yang terbentuk di antara vektor-vektor normalnya. Misalkan diketahui vektor-vektor normal $\vec{n_{1}}=[A_{1},B_{1},C_{1}]$ dan $\vec{n_{2}}=[A_{2},B_{2},C_{2}]$, maka untuk meghitung sudut yang terbentuk dapat menggunakan aturan cosinus yang terdapat dalam perkalian titik (dot product) yaitu:
$\vec{n_{1}}.\vec{n_{2}}=|\vec{n_{1}}||\vec{n_{2}}|cos \theta$
$\theta=\frac{\vec{n_{1}}.\vec{n_{2}}}{|\vec{n_{1}}||\vec{n_{2}}|}$
Sekian pembahasan dan belajar kita kali ini. Sumber belajar ini serta bahan untuk belajar lebih lanjut dapat dicek disini. Hal-hal yang tidak dipahami serta diskusi lebih lanjut silakan tambahkan di kolom komentar.
Mari kita sama-sama belajar dalam kebaikan dan saling mengembangkan ilmu pengetahuan. Karena ilmu adalah adalah salah satu hal yang tidak akan habis jika dibagi.
Kritik dan ssaran akan sangat membantu pengembangan blog ini, Jdi sangatdiharapkan kritik dan saran pembaca baik melalui kolom komentar atau melalui email.
terimakasih
Terima kasih bapa
BalasHapus