Vektor: Hasil kali titik dan silang

Saat membahas operasional yang dilkukan pada vektor, ada operasi yang dilakukan secara tidak lazim yaitu operasi perkalian. Jika operasi lain dilakukan hampir sama dengan operasional aljabar, maka pada perkalian berlaku aturan yang disebut hasil kali titik dan hasil kali silang (dot product dan cross product) .  Karena ini adalah bahan untuk belajar geometri analitik ruang, maka vektor yang dimaksud disini dalah vektor pda dimensi tiga. Jadi ayo belajar bersama.

Hasil kali titik (atau disebut juga dot product) adalah suatu bentuk perkalian vektor yang memenuhi aturan tertentu. Aturan ini diformulaikan secara analitik sebgai berikut:

Jika $\vec{a} = [a_{1},a_{2},a_{3}]$  dan $\vec{b} = [b_{1},b_{2},b_{3}]$, selanjutnya hasil kali titik dari vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah sebuah skalar yang dinyatakan oleh:

$$\vec{a}. \vec{b}=a_{1}b_{1} +a_{2}b_{2} +a_{3}b_{3}$$

Perhatikan bahwa disini kedua varibel vektor dikalikan bersama dan dijumlahkan. Sehingga hasilnya bukan berupa vektor tetapi bilangan skalar. Adapun dalam interpretasi geometri, hasil kali titik  ini dapat diterapkan untuk menghitung nilai sudut antara dua buah vektor.

Jika dua buah vektor yang dinotasikan sebagai $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ serta $\theta$ adalah sudut diantara keduanya dengan $0 \le \theta \le \pi$. Maka:

$$\vec{a}. \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| cos \theta$$

Contoh
1. Tentukan hasil kali titik dari $\vec{m}=[1,1,-1]$ dan $\vec{n}=[-4,3,6]$.
2. Tentukan sudut yang terbentuk dari vektor-vektor $\vec{a}=[2,2,-1]$ dan $\vec{b}=[5,-3,2]$.

Penyelesaian:
1. $\vec{m}.\vec{n}=m_{1}n_{1} +m_{2}n_{2} +m_{3}n_{3}=1(-4) +1(3) +(-1)(6)=-4+3-6=-7$
2. Penyelesaian soal ini menggunakan aturan interpretasi geometri, sehingga lebih dulu dicari:
$\vec{a}. \vec{b}=2(5)+2(-3)+(-1)2=2$
$|\vec{a}|=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}=\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{9}=3$
$|\vec{b}|=\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2+{b_3}^2}=\sqrt{5^2+{-3}^2+2^2}=\sqrt{38}$
sehingga diperoleh:
$\vec{a}. \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| cos \theta$
$cos \theta =\frac{\vec{a}. \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{2}{3\sqrt{38}}$
$\theta =cos^{-1}\left(\frac{2}{3\sqrt{38}}\right)=84^{\circ}$

Hasil Kali Silang (disebut cross product) adalah suatu bentuk perkalian vektor yang menghsilkan vektor kembali dengan mengikuti aturan tertentu. Hasil akhir inilh yang membedakan dengan perkalian titik. ika $\vec{a}=[a_{1},a_{2},a_{3}]$ dan $\vec{b}=[b_{1},b_{2},b_{3}]$ adalah vektor, maka perkalian $\vec{a} \times \vec{b}$ didefinisikan sebagai:
  $$\vec{a} \times \vec{b}=[a_{2}b_{3} -a_{3}b_{2}, a_{3}b_{1} -a_{1}b_{3}, a_{1}b_{2} -a_{2}b_{1}]$$
Contoh:
Tentukan vektor yang terbentuk dari $\vec{a}=[2,3,4]$ dan$\vec{b}=[2,7,-5]$
Penyelesaian:

Karena yang ditanyakan vektor yang terbentuk dari dua buah vektor yang ada maka kita menggunakan hasil kali titik.

$\vec{a} \times \vec{b}=[a_{2}b_{3} -a_{3}b_{2}, a_{3}b_{1} -a_{1}b_{3}, a_{1}b_{2} -a_{2}b_{1}]$

$$=[3(-5)-4(7), 4(2)-2(-5), 2(7)-3(2)]=[-43, 18, 8]$$

Pembahasan selengkapnya dapat dikaji disini.