Koordinat Kartesius Dimensi Tiga

Apa itu sistem koordinat kartesius dimensi tiga? sebagaimana yang kita ketahui juga sistem koordinat kartesius sering juga digunakan dalam dimensi dua berupa dua garis lurus yang saling berpotongan tegak lurus. Sistem ini menjadi dasar penempatan berbagai bangun dimensi dua.  Hal ini juga berlaku pada dimensi tiga dimana sistem koordinat ini merupakan salah satu "kanvas" untuk menempatkan berbagai bangun dimensi tiga. Penjelasan lebih lanjut ada dalam paparan berikut.

Sistem koordinat kartesius tiga dimensi pada prinsipnya sama dengan sistem koordinat dua dimensi, namun dengan penambahan satu sumbu (sumbu z) yang satu sama lain saling tegak lurus. Sehingga dalam penggunaannya melibatkan tiga variabel. Pada koordinat kartesius secara umum disepakati bahwa sumbu y adalah sumbu horizontal (datar), sumbu z adalah sumbu vertikal, dan sumbu x adalah yang tegak lurus de ngan kedua sumbu lainnya. perhatikan ilustrasi berikut.

Pada koordinat kartesius kita kenal sumbu yang bernilai positif dan negatif. Pada  sumbu x, arah yang menuju kita adalah nilai positif dan arah lawannya bernilai negatif. Pada sumbu y, nilai ke kanan titik pusat bernilai positif sedangkan ke kiri bernilai negatif. Adapun sumbu z bernilai positif ke arah atas, dan negatif di bawah titik pusat.

Selain itu dari ketiga sumbu tersebut membentuk tiga bidang koordinat, yaitu bidang yz, xz, dan xy. Bidang tersebut berfungsi seperti dinding yang membatasi ruang pada koordinat dimensi tiga. Hasilnya terbentuk delapan ruang yang disebut oktan.  

Kedudukan Titik

Kedudukan titik pada koordinat kartesius tiga dimensi menunjukan letak titik tersebut terhadap sumbu x, y, dan z. Kedudukan titik dilambangkan dengan tiga pasangan terurut yang terdiri dari absis, ordinat dan aplikat. Jika diketahui suatu titik pada sistem koordinat  P(a,b,c) maka a adalah absis yang menyatakan jarak antara titik tersebut dengan bidang yz, b adalah ordinat yang menyatakan jarak antara titik dengan bidang xz, dan dan c adalah aplikat yang menyatakan jarak antara titik tersebut dengan bidang xy. Letak titik tersebut sesuai dengan oktan yang berkesuaian dengan nilai-nilai positif dan negatif dari absis, ordinat dan aplikat. Contohnya pada titik (3,2,4) sebagai berikut:

Cara lain untuk menempatkan titik pada koordinat kartesius adalah dengan membuat tiga buah garis bantu yang menyatakan panjang absis, ordinat dan aplikat secara berurutan. Contohnya sebagai berikut:

Jarak Dua Titik

Untuk memahami konsep jarak antara dua titik pada ruang dimensi tiga perhatikan gambar berikut.

Pada gambar tersebut untuk memperoleh jarak dari $T_{1}$ ke $T_{2}$ terlebih dulu kita buat alat bantu berupa bidang yang memuat titik $A(x_{2}, y_{2}, z_{1})$ dan $B(x_{2}, y_{1}, z_{1})$. Sehingga diperoleh:

$|AB|=|y_{2}-y_{1}|$

$|BT_{1}|=|x_{2}-x_{1}|$

$|AT_{2}|=|z_{2}-z_{1}|$

Dari gambar juga diketahui bahwa $\triangle ABT_{1}$ siku-siku di B, sehingga dengan Teorema Pythagoras diperoleh:

$|AT_{1}|^{2}=|BT_{1}|^{2}+|AB|^{2}$

        $=|x_{2}-x_{1}|^{2}+|y_{2}-y_{1}|^{2}$

Di lain pihak diketahui  $\triangle T_{1}AT_{2}$ siku-siku di A, maka

$|T_{1}T_{2}|^{2}=|AT_{1}|^{2}+|AT_{2}|^{2}=|x_{2}-x_{1}|^{2}+|y_{2}-y_{1}|^{2}+|z_{2}-z_{1}|^{2}$

$|T_{1}T_{2}|=\sqrt{|x_{2}-x_{1}|^{2}+|y_{2}-y_{1}|^{2}+|z_{2}-z_{1}|^{2}}$

Sekian dan terimakasih telah belajar bersama. Semoga dapat dipahami dan menggunakan ilmu kita sebaik-baiknya baik untuk kita serta terlebih lagi untuk orang lain.

Mari kita sama-sama berbagi kebaikan dan bersama-sama mengembangkan ilmu pengetahuan.

Materi belajar lebih lanjut beserta contoh dapat dipelajari disini.

Sangat ditunggu komentar dan masukan dari pembaca untuk perbaikan dan bahan diskusi lebih lanjut.