Bidang Datar dalam Dimensi Tiga

Bidang datar sebenarnya adalah bangun dimensi dua. Namun bagaimana jika bidang ini diletakan pada dimensi ruang? Maka akan memunculkan beberapa persamaan dan aturan geometri terkait bangun datar. Inilah yang akan kita pelajari bersama kali ini. 

Suatu bidang datar dapat ditentukan jika minimal diketahui tiga buah titik pda bidang tersebut yang tidak segaris. Misalkan tiga titik tersebut yaitu $P(x_{1}, y_{1}, z_{1})$, $Q(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ dan $R(x_{3}, y_{3}, z_{3})$. Sehingga diperoleh $\vec{PQ}=[x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1}]$ dan $\vec{PR}=[x_{3}-x_{1},y_{3}-y_{1},z_{3}-z_{1}]$. Perhatikan gambar  berikut.

Sehingga untuk titik $X(x,y,z)$ pada bidang tersebut berlaku vektor $\vec{PX}=\lambda \vec{PQ}+\mu \vec{PR}$ untuk $(-\infty<\lambda<\infty,-\infty<\mu<\infty)$

Diketahui pula bahwa vektor posisi $\vec{OX}=\vec{OP}+\vec{PX}$. Sementara di lain pihak diketahui bahwa $\vec{OP}=[x_{1}, y_{1}, z_{1}]$. Sehingga diperoleh persamaan yang disebut Persamaan vektoris bidang datar sebagai berikut:

$$[x,y,z]=[x_{1}, y_{1}, z_{1}]+\lambda [x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1}]+\mu [x_{3}-x_{1},y_{3}-y_{1},z_{3}-z_{1}]$$

Selanjutnya persamaan vektoris yang melalui titik $P(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ dapat dirubah jika kita memisalkan vektor arahnya $\vec{a}=[x_{a}, y_{a}, z_{a}]$ dan $\vec{b}=[x_{b}, y_{b}, z_{b}]$. Maka persamaan bidangnya menjadi $[x,y,z]=[x_{1}, y_{1}, z_{1}]+\lambda [x_{a}, y_{a}, z_{a}]+\mu [x_{b}, y_{b}, z_{b}]$. Dari persamaan tersebut dapat ditulis secara terpisah menjadi:

$x=x_{1}+\lambda x_{a}+\mu x_{b}$

$y=y_{1}+\lambda y_{a}+\mu y_{b}$

$z=z_{1}+\lambda z_{a}+\mu z_{b}$

Persamaan ini disebut sebagai persamaan parameter bidang datar.

Persamaan bidang yang ketiga adalah persamaan linier. Jika kita mengoperasikan dua buah persamaan parameter, kemudian mengeliminasi pada masing-masing persamaan, nilai $\lambda$ dan $\mu$. Maka diperoleh nilai $\lambda=\frac{y_{b}(x-x_{1})-x_{b}(y-y_{1})}{x_{a}y_{b}-y_{a}x_{b}}$ dan $\mu=\frac{x_{a}(y-y_{1})-x_{a}(x-x_{1})}{x_{a}y_{b}-y_{a}x_{b}}$ dengan $x_{a}y_{b}-y_{a}x_{b}\ne 0$.

Kemudian dengan dengan mensubstitusikan nilai $\lambda$ dan $\mu$ ke persamaan parameter yang tersisa diperoleh:

$z=z_{1}+\lambda z_{a}+\mu z_{b}$

$=z_{1}+\left(\frac{y_{b}(x-x_{1})-x_{b}(y-y_{1})}{x_{a}y_{b}-y_{a}x_{b}}\right) z_{a}+\left(\frac{x_{a}(y-y_{1})-x_{a}(x-x_{1})}{x_{a}y_{b}-y_{a}x_{b}}\right) z_{b}$

$z_{a}+\left(\frac{x_{a}(y-y_{1})-x_{a}(x-x_{1})}{x_{a}y_{b}-y_{a}x_{b}}\right) z_{b}$

Selanjutnya dengan membuat permisalan:

$z_{b}y_{a}-z_{a}y_{b}=A$

$z_{a}x_{b}-z_{b}x_{a}=B$

$x_{a}y_{b}-y_{a}x_{b}=C$

Diperoleh persamaan liniernya adalah:

$$A(x-x_{1})+B(y-y_{1})+C(z-z_{1})  =0$$

Pada persamaan ini, nilai A, B dan C adalah vektor normal bidang datar. Vektor ini didapat dari cross product  terhadap kedua vektor arah bidang $\vec{a}=[x_{a}, y_{a}, z_{a}]$ dan $\vec{b}=[x_{b}, y_{b}, z_{b}]$.

Sudut Antara Dua Bidang Datar

Sudut antara dua bidang datar adalah sudut yang terbentuk di antara vektor-vektor normalnya. Misalkan diketahui vektor-vektor normal $\vec{n_{1}}=[A_{1},B_{1},C_{1}]$  dan $\vec{n_{2}}=[A_{2},B_{2},C_{2}]$, maka untuk meghitung sudut yang terbentuk dapat menggunakan aturan cosinus yang terdapat dalam perkalian titik (dot product) yaitu:

$\vec{n_{1}}.\vec{n_{2}}=|\vec{n_{1}}||\vec{n_{2}}|cos \theta$

$\theta=\frac{\vec{n_{1}}.\vec{n_{2}}}{|\vec{n_{1}}||\vec{n_{2}}|}$

Sekian pembahasan dan belajar kita kali ini. Sumber belajar ini serta bahan untuk belajar lebih lanjut dapat dicek disini. Hal-hal yang tidak dipahami serta diskusi lebih lanjut silakan tambahkan di kolom komentar.

Mari kita sama-sama belajar dalam kebaikan dan saling mengembangkan ilmu pengetahuan. Karena ilmu adalah adalah salah satu hal yang tidak akan habis jika dibagi.

Kritik dan ssaran akan sangat membantu pengembangan blog ini, Jdi sangatdiharapkan kritik dan saran pembaca baik melalui kolom komentar atau melalui email. 

terimakasih   

 

Koordinat Kartesius Dimensi Tiga

Apa itu sistem koordinat kartesius dimensi tiga? sebagaimana yang kita ketahui juga sistem koordinat kartesius sering juga digunakan dalam dimensi dua berupa dua garis lurus yang saling berpotongan tegak lurus. Sistem ini menjadi dasar penempatan berbagai bangun dimensi dua.  Hal ini juga berlaku pada dimensi tiga dimana sistem koordinat ini merupakan salah satu "kanvas" untuk menempatkan berbagai bangun dimensi tiga. Penjelasan lebih lanjut ada dalam paparan berikut.

Sistem koordinat kartesius tiga dimensi pada prinsipnya sama dengan sistem koordinat dua dimensi, namun dengan penambahan satu sumbu (sumbu z) yang satu sama lain saling tegak lurus. Sehingga dalam penggunaannya melibatkan tiga variabel. Pada koordinat kartesius secara umum disepakati bahwa sumbu y adalah sumbu horizontal (datar), sumbu z adalah sumbu vertikal, dan sumbu x adalah yang tegak lurus de ngan kedua sumbu lainnya. perhatikan ilustrasi berikut.

Pada koordinat kartesius kita kenal sumbu yang bernilai positif dan negatif. Pada  sumbu x, arah yang menuju kita adalah nilai positif dan arah lawannya bernilai negatif. Pada sumbu y, nilai ke kanan titik pusat bernilai positif sedangkan ke kiri bernilai negatif. Adapun sumbu z bernilai positif ke arah atas, dan negatif di bawah titik pusat.

Selain itu dari ketiga sumbu tersebut membentuk tiga bidang koordinat, yaitu bidang yz, xz, dan xy. Bidang tersebut berfungsi seperti dinding yang membatasi ruang pada koordinat dimensi tiga. Hasilnya terbentuk delapan ruang yang disebut oktan.  

Kedudukan Titik

Kedudukan titik pada koordinat kartesius tiga dimensi menunjukan letak titik tersebut terhadap sumbu x, y, dan z. Kedudukan titik dilambangkan dengan tiga pasangan terurut yang terdiri dari absis, ordinat dan aplikat. Jika diketahui suatu titik pada sistem koordinat  P(a,b,c) maka a adalah absis yang menyatakan jarak antara titik tersebut dengan bidang yz, b adalah ordinat yang menyatakan jarak antara titik dengan bidang xz, dan dan c adalah aplikat yang menyatakan jarak antara titik tersebut dengan bidang xy. Letak titik tersebut sesuai dengan oktan yang berkesuaian dengan nilai-nilai positif dan negatif dari absis, ordinat dan aplikat. Contohnya pada titik (3,2,4) sebagai berikut:

Cara lain untuk menempatkan titik pada koordinat kartesius adalah dengan membuat tiga buah garis bantu yang menyatakan panjang absis, ordinat dan aplikat secara berurutan. Contohnya sebagai berikut:

Jarak Dua Titik

Untuk memahami konsep jarak antara dua titik pada ruang dimensi tiga perhatikan gambar berikut.

Pada gambar tersebut untuk memperoleh jarak dari $T_{1}$ ke $T_{2}$ terlebih dulu kita buat alat bantu berupa bidang yang memuat titik $A(x_{2}, y_{2}, z_{1})$ dan $B(x_{2}, y_{1}, z_{1})$. Sehingga diperoleh:

$|AB|=|y_{2}-y_{1}|$

$|BT_{1}|=|x_{2}-x_{1}|$

$|AT_{2}|=|z_{2}-z_{1}|$

Dari gambar juga diketahui bahwa $\triangle ABT_{1}$ siku-siku di B, sehingga dengan Teorema Pythagoras diperoleh:

$|AT_{1}|^{2}=|BT_{1}|^{2}+|AB|^{2}$

        $=|x_{2}-x_{1}|^{2}+|y_{2}-y_{1}|^{2}$

Di lain pihak diketahui  $\triangle T_{1}AT_{2}$ siku-siku di A, maka

$|T_{1}T_{2}|^{2}=|AT_{1}|^{2}+|AT_{2}|^{2}=|x_{2}-x_{1}|^{2}+|y_{2}-y_{1}|^{2}+|z_{2}-z_{1}|^{2}$

$|T_{1}T_{2}|=\sqrt{|x_{2}-x_{1}|^{2}+|y_{2}-y_{1}|^{2}+|z_{2}-z_{1}|^{2}}$

Sekian dan terimakasih telah belajar bersama. Semoga dapat dipahami dan menggunakan ilmu kita sebaik-baiknya baik untuk kita serta terlebih lagi untuk orang lain.

Mari kita sama-sama berbagi kebaikan dan bersama-sama mengembangkan ilmu pengetahuan.

Materi belajar lebih lanjut beserta contoh dapat dipelajari disini.

Sangat ditunggu komentar dan masukan dari pembaca untuk perbaikan dan bahan diskusi lebih lanjut.

Vektor: Hasil kali titik dan silang

Saat membahas operasional yang dilkukan pada vektor, ada operasi yang dilakukan secara tidak lazim yaitu operasi perkalian. Jika operasi lain dilakukan hampir sama dengan operasional aljabar, maka pada perkalian berlaku aturan yang disebut hasil kali titik dan hasil kali silang (dot product dan cross product) .  Karena ini adalah bahan untuk belajar geometri analitik ruang, maka vektor yang dimaksud disini dalah vektor pda dimensi tiga. Jadi ayo belajar bersama.

Hasil kali titik (atau disebut juga dot product) adalah suatu bentuk perkalian vektor yang memenuhi aturan tertentu. Aturan ini diformulaikan secara analitik sebgai berikut:

Jika $\vec{a} = [a_{1},a_{2},a_{3}]$  dan $\vec{b} = [b_{1},b_{2},b_{3}]$, selanjutnya hasil kali titik dari vektor $ \vec{a}$ dan $ \vec{b}$ adalah sebuah skalar yang dinyatakan oleh:

$$\vec{a}. \vec{b}=a_{1}b_{1} +a_{2}b_{2} +a_{3}b_{3}$$

Perhatikan bahwa disini kedua varibel vektor dikalikan bersama dan dijumlahkan. Sehingga hasilnya bukan berupa vektor tetapi bilangan skalar. Adapun dalam interpretasi geometri, hasil kali titik  ini dapat diterapkan untuk menghitung nilai sudut antara dua buah vektor.

Jika dua buah vektor yang dinotasikan sebagai $ \vec{a}$ dan $ \vec{b}$ serta $ \theta$ adalah sudut diantara keduanya dengan $0 \le \theta \le \pi$. Maka:

$$\vec{a}. \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| cos \theta$$

Contoh
1. Tentukan hasil kali titik dari $\vec{m}=[1,1,-1]$ dan $\vec{n}=[-4,3,6]$.
2. Tentukan sudut yang terbentuk dari vektor-vektor $\vec{a}=[2,2,-1]$ dan $\vec{b}=[5,-3,2]$.

Penyelesaian:
1. $\vec{m}.\vec{n}=m_{1}n_{1} +m_{2}n_{2} +m_{3}n_{3}=1(-4) +1(3) +(-1)(6)=-4+3-6=-7$
2. Penyelesaian soal ini menggunakan aturan interpretasi geometri, sehingga lebih dulu dicari:
$\vec{a}. \vec{b}=2(5)+2(-3)+(-1)2=2$
$|\vec{a}|=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}=\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{9}=3$
$|\vec{b}|=\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2+{b_3}^2}=\sqrt{5^2+{-3}^2+2^2}=\sqrt{38}$
sehingga diperoleh:
$\vec{a}. \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| cos \theta$
$cos \theta =\frac{\vec{a}. \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{2}{3\sqrt{38}} $
$\theta =cos^{-1}\left(\frac{2}{3\sqrt{38}}\right)=84^{\circ} $

Hasil Kali Silang (disebut cross product) adalah suatu bentuk perkalian vektor yang menghsilkan vektor kembali dengan mengikuti aturan tertentu. Hasil akhir inilh yang membedakan dengan perkalian titik. ika $\vec{a}=[a_{1},a_{2},a_{3}]$ dan $\vec{b}=[b_{1},b_{2},b_{3}]$ adalah vektor, maka perkalian $\vec{a} \times \vec{b}$ didefinisikan sebagai:
 $$\vec{a} \times \vec{b}=[a_{2}b_{3} -a_{3}b_{2}, a_{3}b_{1} -a_{1}b_{3}, a_{1}b_{2} -a_{2}b_{1}]$$
Contoh:
Tentukan vektor yang terbentuk dari $\vec{a}=[2,3,4]$ dan$\vec{b}=[2,7,-5]$
Penyelesaian:

Karena yang ditanyakan vektor yang terbentuk dari dua buah vektor yang ada maka kita menggunakan hasil kali titik.

$\vec{a} \times \vec{b}=[a_{2}b_{3} -a_{3}b_{2}, a_{3}b_{1} -a_{1}b_{3}, a_{1}b_{2} -a_{2}b_{1}]$

$$=[3(-5)-4(7), 4(2)-2(-5), 2(7)-3(2)]=[-43, 18, 8]$$

Pembahasan selengkapnya dapat dikaji disini.