Pengantar Kuliah Analisis Real

Analisis real merupakan cabang penting dari ilmu matematika terkait dengan bilangan real. Kalau kita bersinggungan dengan bilangan yang bersifat kontinu maka analisis ini merupakan bagian mendasar yang harus digunakan. Karena analisis real berkaitan dengan bagaimana aturan suatu bilangan real itu terbentuk.  Oke langsung saja.

Pertama yang akan dibahas adalah sifat bilangan real. Sifat ini berguna untuk analisis pembuktian berbagai teorema, aturan, dan lain-lain dari bagian bilangan real. Sifat ini disebut juga dengan sifat aljabar atau aksioma bilangan real sebagai berikut:

Sifat Bilangan Real

Kode	Sifat bilangan	Inisial Sifat
A1	untuk setiap	Komutatif penjumlahan
A2	untuk setiap	Asosiatif penjumlahan
A3	Terdapat  sedemikian hingga  dan  untuk setiap	Identitas penjumlahan
A4	Untuk setiap  terdapat  sedemikian hingga  dan	Invers penjumlahan
M1	untuk setiap	Komutatif perkalian
M2	untuk setiap	Asosiatif perkalian
M3	Terdapat   sedemikian hingga  dan  untuk semua	Identitas perkalian
M4	Untuk setiap  terdapat   sedemikian hingga  dan	Invers perkalian
D	dan  untuk setiap	Distributif perkalian terhadap penjumlahan

Keterangan: simbol operasi penjumlahan adalah $+$ dan simbol perkalian dengan $.$.
Sifat bilangan real ini terdiri dari empat sifat penjumlahan dengan kode A (addition), empat sifat perkalian dengan kode M (multiplication), dan satu sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dengan kode D (distributive). Adapun untuk operasi pengurangan didefinisikan dengan  dan operasi pembagian didefinisikan dengan  untuk .
Jadi total terdapat Sembilan sifat bilangan real.Sifat-sifat ini karena berbentuk aksioma maka kebenarannya sudah diakui dan tidak perlu dibuktikan lagi, serta dapat digunakan untuk membuktikan teorema-teorema bilangan real lainnya.

Tambahan

Aksioma adalah pernyataan yang kebenarannya tidak perlu dibuktikan lagi, yaitu yang sudah disepakati kebenarannya. Elemen identitas sering disebut juga elemen netral, yaitu bilangan yang jika dioperasikan dengan bilangan lain akan menghasilkan bilangan lain itu sendiri $netral$. Elemen invers sering disebut juga elemen kebalikan, yaitu bilangan yang jika dioperasikan dengan kebalikannya akan menghasilkan elemen identitas.