Kuliah Matematikaku: Januari 2018

Minggu, 28 Januari 2018

Kamis, 25 Januari 2018

Teorema Terkait Sifat Aljabar Bilangan Real I

Sekarang kita akan membuktikan berbagai teorema yang berkaitan dengan sifat aljabar bilangan real. Sebagaimana kita ketahui bahwa analisis real membahas berbagai macam pola, sifat, teorema dan lain sebagainya yang dimiliki oleh bilangan real. Adapun analisisnya berupa pembuktian kebenaran dari teorema-teorema tersebut berdasarkan pembuktian matematika yang valid dan logis. Ingat bahwa pembuktian matematika menggunakan metode deduktif (dari khusus ke umum) yaitu dengan menggunakan pernyataan-pernyataan khusus yang sudah terbukti kebenarannya untuk menemukan pola umumnya. Dalam analisis real ini berarti bahwa kita membuktikan teorema yang ada menggunakan aksioma, teorema, atau pernyataan lain yang sudah terbukti kebenarannya sebelumnya.

Teorema yang kita bahas pertama terkait dengan penggunaan elemen 0 dan 1 sebagai berikut:

Teorema 2.1.2

a. Jika ${\color{Blue} z,a\in \mathbb{R}}$ dengan ${\color{Blue} z+a=a}$ maka ${\color{Blue} z=0}$
Dibacanya: jika z dan a anggota bilangan real dan z ditambah a sama dengan a, maka z sama dengan nol.

Bukti

b. Jika ${\color{Blue} u,b\in \mathbb{R}}$ dan ${\color{Blue} b\neq 0}$ sehingga ${\color{Blue} u.b=b}$ maka ${\color{Blue} u=1}$
Dibacanya: jika u dan b anggota bilangan real, dan b tidak sama dengan nol, sehingga u dikali b sama dengan b, maka u sama dengan satu.

Bukti

c. Jika ${\color{Blue} a\in\mathbb{R}}$ maka ${\color{Blue} a.0=0}$
Dibacanya: Jika a adalah anggota bilangan real maka a dikali nol sama dengan nol.

Bukti

Pernyataan	Penjelasan
$a+b=0$
$(-a)+(a+b)=(-a)+0$	kedua ruas ditambahkan $(-a)$
$((-a)+a)+b=(-a)+0$	asosiatif penjumlahan (A2)
$0+b=(-a)+0$	invers penjumlahan (A4)
$b=-a$	identitas perkalian (M3)
$\therefore terbukti$

Pernyataan	Penjelasan
$a.b=1$
$\frac{1}{a}.(a.b)=\frac{1}{a}.1$	kedua ruas dikali $\frac{1}{a}$
$(\frac{1}{a}.a).b=\frac{1}{a}.1$	asosiatif perkalian (M2)
$1.b=\frac{1}{a}.1$	invers perkalian (M4)
$b=\frac{1}{a}$	identitas perkalian (M3)
$\therefore terbukti$

Pernyataan	Penjelasan
$a.b=0$
$(a.b).\frac{1}{b}=0.\frac{1}{b}$	kedua ruas dikali $\frac{1}{b}$
$a.(b.\frac{1}{b})=0.\frac{1}{b}$	asosiatif perkalian (M2)
$a.1=0.\frac{1}{b}$	invers perkalian (M4)
$a=0.\frac{1}{b}$	identitas perkalian (M3)
$a=0$	teorema 2.1.2 (c)
$\therefore terbukti$

Pernyataan	Penjelasan
$a.b=0$
$\frac{1}{a}.(a.b)=\frac{1}{a}.0$	kedua ruas dikali $\frac{1}{a}$
$(\frac{1}{a}.a).b=\frac{1}{a}.0$	asosiatif perkalian (M2)
$1.b=\frac{1}{a}.0$	invers perkalian (M4)
$b=\frac{1}{a}.0$	identitas perkalian (M3)
$b=0$	teorema 2.1.2 (c)
$\therefore terbukti$

Pernyataan	Penjelasan
$z=z+0$	eksistensi elemen identitas penjumlahan (A3)
$z=z+(a+(-a))$	invers penjumlahan (A4)
$z=(z+a)+(-a)$	asosiatif penjumlahan (A2)
$z=a+(-a)$	diketahui dari pernyataan bahwa ${\color{Black} z+a=a}$
$z=0$	invers penjumlahan (A4)
$\therefore terbukti$

Kuliah Matematikaku

matematika

Minggu, 28 Januari 2018

Teorema Terkait Sifat Aljabar Bilangan Real II

Teorema 2.1.3

a. Jika ${\color{Blue} a+b=0}$ maka ${\color{Blue} b=-a}$

c. Jika ${\color{Blue} a.b=0}$ maka ${\color{Blue} a=0}$ atau ${\color{Blue} b=0}$

Kamis, 25 Januari 2018

Teorema Terkait Sifat Aljabar Bilangan Real I

Teorema 2.1.2

Pernyataan	Penjelasan
$u=u.1$	eksistensi elemen identitas perkalian (M3)
$u=u.(b.(\frac{1}{b}))$	invers perkalian (M4)
$u=(u.b).(\frac{1}{b})$	asosiatif perkalian (M2)
$u=b.(\frac{1}{b})$	diketahui dari pernyataan bahwa $u.b=b$
$u=1$	invers perkalian (M4)
$\therefore terbukti$

Pernyataan	Penjelasan
$a=a.1$	eksistensi elemen identitas perkalian (M3)
$a+a.0=a.1+a.0$	kedua ruas ditambahkan $a.0$
$a.0+a=a.0+a.1$	komutatif penjumlahan (A1)
$a.0+a=a.(0+1)$	distributif perkalian terhadap penjumlahan (D)
$a.0+a=a.1$	identitas penjumlahan (A3)
$a.0+a=a$	identitas perkalian (M3)
diperoleh $z=a.0$	teorema 2.1.2 (a)

matematika

Minggu, 28 Januari 2018

Teorema Terkait Sifat Aljabar Bilangan Real II

Teorema 2.1.3

a. Jika maka

c. Jika maka atau

Kamis, 25 Januari 2018

Teorema Terkait Sifat Aljabar Bilangan Real I

Teorema 2.1.2

a. Jika ${\color{Blue} a+b=0}$ maka ${\color{Blue} b=-a}$

c. Jika ${\color{Blue} a.b=0}$ maka ${\color{Blue} a=0}$ atau ${\color{Blue} b=0}$