Kalau kita mengkaji bangun dimensi tiga maka tidak terlepas dari bangun yang disebut sebagai bola. Bangun ini adalah salah satu bentuk geometri yang paling unik. Dari segi bentuk ini adalah bangun lengkung yang paling sempurna. Karena secara geometris bola dapat diperoleh secara dari sebuah titik yang ditarik sama panjang ke segala arah. Begitu juga jika dipandang dari segi analitik. Bangun geometri permukaan bola memiliki serangkaian sifat dan aturan unik lainnya. Inilah yang akan kita bahas dalam kajian geometri analitik ruang kali ini.
Persamaan Bola di Titik Pusat $(0,0,0)$
Permukaan bola dapat diartikan juga sebagai tempat kedudukan titik-titik yang memiliki jarak yang sama dengan suatu titik tertentu. Untuk menentukan persamaan bola yang titik pusatnya pada titik awal sistem koordinat dapat ditentukan dengan langkah-langkah berikut.
- Ambil sebarang bola dengan titik pusat $O(0,0,0)$ dan dengan jari-jari r;
- Ambil kembali sebarang titik pada permukaan bola misalkan $P(x,y,z)$. Maka diperoleh $\vec{OP}=[x-0,y-0,z-0]=[x,y,z]$;
- Berdasarkan definisi bola diperoleh $\vec{OP}=r$ sehingga;
$$\vec{OP}=r$$
$$|\vec{OP}=|r|$$
$$\sqrt{(x)^2+(y)^2+(z)^2}=|r|$$
$$x^2+y^2+z^2=r^2$$
- Karena $P(x,y,z)$ adalah sebarang titik pada bola maka persamaan $x^2+y^2+z^2=r^2$ merupakan persamaan yang berlaku umum untuk bola. Jadi persamaan permukaan bola dengan pusat $(0,0,0)$ dan jari-jari r adalah.
Persamaan Bola dengan Pusat $(a,b,c)$
- Ambil sebuah bola dengan titik pusat di $A(a,b,c)$ dan jari-jari r pada ruang oktan I.
- Ambil kembali sebarang titik pada permukaan bola misalkan $P(x,y,z)$. Maka diperoleh $\vec{AP}=[x-a,y-b,z-c]$
- Berdasarkan definisi bola diperoleh $\vec{AP}=r$ sehingga $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$
- Karena $P(x,y,z)$ adalah sebarang titik pada bola maka persamaan di atas juga berlaku umum untuk bola. Jadi persamaan permukaan bola dengan pusat $A(a,b,c)$ dan jari-jari r adalah:
